Steven_MengのBlog

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扫了一眼题解,发现没有一个严谨证明的,那么我就来证明一波吧。

首先,我们看一看如何求树的直径:

$1.$随便定一个根节点,第一遍$bfs$求出树中深度最深的节点,记为$u$。

$2 .$以$u$为根节点,第二遍$bfs$求出树中深度最深的点$v$

$3.$树的直径的端点即为$u,v$


类比到此题:

我们把政党$p$中的牛最深的记为$\max _p$

发现:$p$政党最长的链一定是某个$p$政党的牛和$\max_p$构成的(类似于树的直径)

考虑如何证明这个结论,采用反证法(自己画一个图比较好理解):

声明:为了简化证明,我们记$ab$为树上$ab$两点的最短路径,$dep(a)$为节点$a$在树中的深度。

设某个$p$政党的牛$a$和另一个深度小于$\max _p $的牛$b$构成了最长的链。

首先,我们求出$lca (a,b)$,设为$c$,求出$lca(a,\max _p)$,设为$c’$。

我们可以知道,$c’$,$c$有直接的祖先关系,也有可能$c=c’$,简单来说,就是在同一条到根节点的链上。(这一点参见虚树的证明)

考虑两种情况:

$1.$$c’$的祖先为$c$(如图),那我们有$c’\max_ p+cc’+dep(c)=dep({\max_ p})$,且$cb+dep(c)=dep(b)$,

由$dep(b) < dep({\max_ p})$,两式相减,发现$dep(c)$抵消,我们有$cb<c’ \max _p+cc’…*$

发现$ab=ac’+c’c+cb$,且$a\max_p=ac’+c’\max_p$,将$*$式代入,我们有$ab=ac’+c’c+cb<ac’+c’c+c’\max _p+c’c=a\max _p+cc’ \times 2$

由于$c’$的祖先为$c$,所以$cc’>0$,所以$ab<a\max_p$,假设错误。

$2.$$c$的祖先为$c$,证明方法差不多,不再赘述。

所以,我们求一波$LCA$,然后预处理出$\max_p$,最后暴力扫过一遍所有的牛,求出答案。

时间复杂度$O(n\log n)$

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#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 200005
#define MAXM 25
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){
if (ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while (ch>='0'&&ch<='9'){
x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^'0');
ch=getchar();
}
return x*f;
}
vector<int>G[MAXN];
inline void AddEdge(int u,int v){
G[u].push_back(v);
}
int anc[MAXN][MAXM],dep[MAXN],n,m;
void dfs(int u,int father){
anc[u][0]=father;
for (register int i=1;i<MAXM;++i){
anc[u][i]=anc[anc[u][i-1]][i-1];
}
for (register int i=0;i<G[u].size();++i){
int v=G[u][i];
if (v!=father){
dep[v]=dep[u]+1;
dfs(v,u);
}
}
}
inline int LCA(int u,int v){
if (dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
for (register int i=MAXM-1;i>=0;--i){
if (dep[anc[u][i]]>=dep[v]){
u=anc[u][i];
}
}
if (u==v) return u;
for (register int i=MAXM-1;i>=0;--i){
if (anc[u][i]!=anc[v][i]){
u=anc[u][i];
v=anc[v][i];
}
}
return anc[u][0];
}
inline void Init(int root){
memset(dep,0,sizeof(dep));
dfs(root,0);
}
int val[MAXN],maxu[MAXN],maxdep[MAXN],ans[MAXN];
inline int Dis(int u,int v){
return dep[u]+dep[v]-2*dep[LCA(u,v)];
}
int main(){
int n=read(),k=read();
int root;
for (register int i=1;i<=n;++i){
int a=read(),p=read();
val[i]=a;
AddEdge(i,p),AddEdge(p,i);
if (!p) root=i;
}
Init(root);
for (register int i=1;i<=n;++i){//预处理
if (dep[maxu[val[i]]]<dep[i]) maxu[val[i]]=i;
}
for (register int i=1;i<=n;++i){
ans[val[i]]=max(ans[val[i]],Dis(maxu[val[i]],i));
}
for (register int i=1;i<=k;++i){
printf("%d\n",ans[i]);
}
}

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