Steven_MengのBlog

对于$x_1 … x_n$,考虑如下的$m$条限制:

$x_i$为true/false或者$x_j$为true/false

我们举个例子,如果要求的是$x_i$为true或者$x_j$为false

那么如果$x_i$为false,$x_j$就必须为true

反之,如果$x_j$为true,$x_i$就必须为true

这样,我们巧妙地将或问题转换成与问题

插句题外话,其实或运算可以转换成与运算,即$x \text{ and } y = \text{not }((\text{not }x) \text{ or } (\text{not y}))$,

这个性质在红石里面很有用

好了,发现怎么转换以后,我们考虑将问题抽象化,不妨建一个有向图。

事实上,我们建的是两倍节点的图,前面的$n$个点代表$x_i==true$,后面$n$个点代表$x_i==false$

$$表示$u$的值为真的话,$v$的值就必须为真。

注意到我们建立的是有向图,所以刚才的边并不代表$v$的值为真,能推出$u$的值为真。

我们考虑如何判断矛盾,我们在求出这个图的强连通分量,同一强连通分量中的值一定相等,如果$x_i==true$代表的节点和$x_i==false$的节点在同一强连通分量,那么不合法。

如果没有这种矛盾,是可以证明一定有一个合法的解的。(然鹅我不会证)

考虑把所有强连通分量缩成一个点,变成一个拓扑图(当然在代码里面不用写)。

注意这里每个点代表的是原图的一个强连通分量。

假设我们现在选了一个拓扑序比较靠前的节点$u$,钦定它的值为true​(标成红色)

那么拓扑序大于它的节点都必须为true。

这样标成true的节点太多了,可能造成很多矛盾,不符合基本法。

考虑一个更优的方法:

我们选一个拓扑序靠后的节点$v$,钦定它的值为true,这样只要把较少点标成true。

不知道高到哪里去了。

所以,根据贪心的原则我们优先选择拓扑序靠后的节点设成true

再举个例子:在这种情况下设u=false,因为它的拓扑序比较靠后,如果设u=true显然会造成矛盾。

注意到$tarjan$的拓扑序是从大到小的,所以输出时是这个样子的:

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for (register int i=1;i<=n;++i){
printf("%d ",col[i]>col[i+n]);
}

好了,算法讲解好了,我们做一道练习题(做之前先把算法理解透彻):

P4782 【模板】2-SAT 问题

这里我们设$x_i ==true$的节点在$1 \text{ ~ } n$,$x_i==false$的节点在$n+1 \text{ ~ } 2n$

加边的时候这样加,避免讨论:

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AddEdge(u+(!a)*n,v+b*n);
AddEdge(v+(!b)*n,u+a*n);

注意数组开两倍

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// luogu-judger-enable-o2
#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 2000005
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){
if (ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while (ch>='0'&&ch<='9'){
x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^'0');
ch=getchar();
}
return x*f;
}
vector<int>G[MAXN];
inline void AddEdge(int u,int v){
G[u].push_back(v);
}
int dfn[MAXN],low[MAXN],cnt;
stack<int>stk;
int scc,col[MAXN];
void tarjan(int u){
dfn[u]=low[u]=++cnt;
stk.push(u);
for (register int i=0;i<G[u].size();++i){
int v=G[u][i];
if (!dfn[v]) tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
else if (!col[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if (low[u]==dfn[u]){
++scc;
do{
col[u]=scc;
u=stk.top(),stk.pop();
}while (low[u]!=dfn[u]);
}
}
int main(){
int n=read(),m=read();
for (register int i=1;i<=m;++i){
int u=read(),a=read(),v=read(),b=read();
AddEdge(u+(!a)*n,v+b*n);
AddEdge(v+(!b)*n,u+a*n);
}
for (register int i=1;i<=(n<<1);++i){
if (!dfn[i]) tarjan(i);
}
for (register int i=1;i<=n;++i){
if (col[i]==col[i+n]){
puts("IMPOSSIBLE");
return 0;
}
}
puts("POSSIBLE");
for (register int i=1;i<=n;++i){
printf("%d ",col[i]>col[i+n]);
}
}

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